calculer la réfraction

A) Le tableur

Afin de pouvoir connaître les différentes réfractions que subit un rayon à travers divers milieux, nous avons utilisé un tableur (ici Excel).

 

1) Fonctionnement du tableau

 

 

 

- dans le tableau composé des colonnes A et B, il faut compléter la colonne B "Saisir les valeurs". Il s'agit de donner l'épaisseur d'une couche d'un milieu appelé "e", le déplacement de départ du rayon lumineux par rapport au sol de l'aquarium, appelé X1, de l'angle de départ du rayon appelé i1. Les données suivantes à compléter sont les indices des milieux des différents milieux traversés, appelé n1 pour le premier, n2 pour le deuxième, n3 pour le troisième, etc...

 

- le second tableau composé des colonnes D, E, F, G, H appelé "résultats intermédiaires", contient toutes les données intermédiaires nécessaires à l'obtention des résultats et à la création du graphique.

 

- Le dernier tableau composé des colonnes J et K appelé "résultat finaux en fonction des données" nous donne l'angle et le déplacement final du laser après être passé à travers différentes couches choisies.

 

2) Application

 

Pour comprendre le fonctionnement, 2 formules mathématiques sont à connaître.

 

- La loi Snell-Descartes :

 

Nous en avons déjà parlé au début de notre TPE (page Qu'est ce que la réfraction ?), la réfraction de la lumière suit l'équation :

 

 

sin (i₁) × n₁=sin(i₂) × n₂

 

Ce qui nous donne en adaptant l'équation :

 

 

[Sin (i₁) × n₁]/n₂ = sin (i₂)]

Autrement dit  i₂ = Arc sinus ([sin (i₁) × n₁]/n₂)

 

C’est cette dernière formule que nous retenons afin de connaître l'angle du rayon réfracté de chaque milieu. Dans un souci d'unité, nous rajoutons le terme DEGRES dans la formule afin d'obtenir un angle en degrés et non en radient.

 

La formule utilisée dans la colonne D, qui nous permet d'obtenir la valeur de l'angle réfracté est donc :

 

=DEGRES (ABS (ASIN ((SIN(D_précedent)*B_{du milieu précédent})/B_{du mileu actuel})))

 

-la formule de la tangente en trigonométrie :

 

Dans le schéma ci-dessous, on remarque un triangle rectangle. En effet les surfaces des milieux étant parallèles, la distance e est représentée par une droite perpendiculaire aux deux surfaces de séparations.

Nous offrant donc un triangle rectangle.

 

 

 

Or dans un triangle rectangle, nous pouvons utiliser la formule de la tangente. La tangente d'un angle est le rapport de la longueur du côté opposé à la longueur du côté adjacent.

 

 

 

 

propriété de la tangente

Tan(I) = JK/IK

 

 

En factorisant cette équation on obtient : JK = Tan(I)* IK

 

Dans la colonne F on a inséré la formule :

 =ABS (TAN (D_{angle du milieu}) ×$J$3)

 

$J$3 représente l'épaisseur e dont la valeur est saisie dans la cellule J3.

 

- la colonne G calcule la somme de la valeur de X précédente (ou de départ) et de la valeur du X trouvé.

 

3) Un graphique

 

Du tableau, nous avons extrait un graphique pour permettre une visualisation schématique des déviations du rayon lumineux.

 

- L'axe des abscisses représente les numéros d'ordre des différents milieux traversés.

 

- L'axe des ordonnées représente le déplacement X du laser.

 

- Enfin notre courbe représente le rayon lumineux

 

 

 

 

 

=> Le calcul est donc un moyen efficace de connaître le déplacement d'un laser à travers différents milieux.

B) Un algorithme

 

 

Sin(i1) × n1 = Sin(i2) × n2 et Sin(i3) × n3 = Sin(i4) × n4

 

Ces formules de Snell-Descarte s'appliquent au schéma ci-dessous :

 

 

 

 

Nous savons que deux angles formés par deux droites coupées par une sécante sont dits alternes internes si :

 

- ils sont situés de part et d'autre de la sécante 

- ils sont situés entre les deux droites

- ils ne sont pas adjacents.

 

Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors ces droites forment des angles alternes internes de même mesure.

 

Dans notre cas, toutes les conditions sont remplies (les droites parallèles représentent les séparations entre les différents milieux et le rayon lumineux la droite sécante) donc nous pouvons affirmer que :

 

 

Sin(i2) × n2 = Sin(i3) × n3

 

Par égalité mathématique :

 

 

Sin(i1) × n1 = Sin(i4) × n4

 

Or lorsque le laser passe à travers plusieurs couches, c'est la même suite logique qui se produit.

 

=> Autrement dit :

 

Sin(i_{angle de départ}) x n_{indice de départ} = Sin (ifin) x n_{indice du dernier milieu}

 

Par équivalence on peut dire :

 

 

ifin = Arcsinus[(Sin(i_{angle de départ}) x n_{indice de départ}) / n_{indice du dernier milieu}

       l'algorithme